13问答网 > 已知数列{ an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）

已知数列{ an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）

2025-02-26 12:29:25

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回答1：

解答：证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1． ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4．所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

?

1

5

+

1

5

?

1

6

+…+

1

n+3

?

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

＜

1

4

．