为什么对角互补的四边形是圆内接四边形

【对角互补的四边形是圆内接四边形】

设在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求证：四边形ABCD是圆内接四边形。

用反证法。

证明：

过B、C、D三点做⊙O，假设点A不在⊙O上，那么点A在⊙O内或⊙O外。

若点A在⊙O内，连接BA并延长，交⊙O于E，连接DE。

则∠E+∠C=180°

∵∠BAD=∠E+∠ADE＞∠E

∴∠BAD+∠C＞180°，这与∠BAD+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O内。

若点A在⊙O外，连接AB交⊙O于F，连接DF，

则∠BFD+∠C=180°，

∵∠A=∠BFD-∠ADF＜∠BFD，

∴∠A+∠C＜180°，

这与∠A+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O外。

综上所述，点A只能在⊙O上，A、B、C、D均在⊙O上，

∴四边形ABCD是圆内接四边形。

扩展资料

凸四边形

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。

平行四边形(包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形)。

梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。

凸四边形的内角和和外角和均为360度。

凹四边形

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

【对角互补的四边形是圆内接四边形】

设在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求证：四边形ABCD是圆内接四边形。

用反证法。

证明：

过B、C、D三点做⊙O，假设点A不在⊙O上，那么点A在⊙O内或⊙O外。

若点A在⊙O内，连接BA并延长，交⊙O于E，连接DE。

则∠E+∠C=180°

∵∠BAD=∠E+∠ADE＞∠E

∴∠BAD+∠C＞180°，这与∠BAD+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O内。

若点A在⊙O外，连接AB交⊙O于F，连接DF，

则∠BFD+∠C=180°，

∵∠A=∠BFD-∠ADF＜∠BFD，

∴∠A+∠C＜180°，

这与∠A+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O外。

综上所述，点A只能在⊙O上，A、B、C、D均在⊙O上，

∴四边形ABCD是圆内接四边形。

四个顶点分别与圆心相连
一个角等于他所对的圆周角的一半,这个角的对角也是这个角的对角的一半
而这个角和这个角的对角的圆周角和是360度
所以很明显两个对角的和是180度

如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°求证：四边形ABCD是圆内接四边形证明：过点A、B、C作圆O若点D在圆外,则∠D+∠B<180°（圆外角小于圆周角）若点D在圆内,则∠D+∠B>180°（圆内角大于圆周角）所以点D只能在圆上所以对角互补的四边形是圆内接四边形

为什么圆内接四形形的对角互补