高数。微积分求导。过程。

2025-03-09 10:18:15

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回答1：

2∫<0,a>tf(t)dt=f(a)-a²-1…………………………………………………………①
两边对a求导，得到：2af(a)=f'(a)-2a【参考变限积分函数的求导】

①中，令a=0，有：0=f(0)-0-1
所以，f(0)=1

令y=f(x)，已知：2xf(x)=f'(x)-2x
即，2xy=y'-2x=(dy/dx)-2x
==> 2x(y+1)=dy/dx
==> 2xdx=dy/(y+1)
==> ∫2xdx=∫dy/(y+1)
==> x²=ln(y+1)+C1
==> y+1=C*e^x²
==> y=C*e^x²-1

即，f(x)=C*e^x²-1
由第二问知，f(0)=1，代入得到：C=2
所以，f(x)=2e^x²-1

回答2：

前两问，第三问不会