求微分方程y✀✀ 4y✀ 4y=xe^x的通解

求微分方程y''+ 4y' +4y=xe^x的通解
解：先求齐次方程y''+4y'+4y=0的通解：
其特征方程r²+4r+4=(r+2)²=0，故得r=-2；故其通解为y=[e^(-2x)](C₁+C₂x)；
再求一个特解y₀；用待定系数法：
设y₀=(bo+b₁x)e^x
y₀'=b₁e^x+(bo+b₁x)e^x=(b₁+bo+b₁x)e^x
y₀''=b₁e^x+(b₁+bo+b₁x)e^x=(2b₁+bo+b₁x)e^x
代入原式得:
[(2b₁+bo+b₁x)+4(b₁+bo+b₁x)+4(bo+b₁x)]e^x
=(6b₁+9bo+9b₁x)e^x=xe^x
故得9b₁=1，即b₁=1/9；
6b₁+9bo=(6/9)+9bo=0，故bo=-6/81=-2/27
于是得特解y₀=[(-2/27)+(1/9)x]e^x
故原方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^(-2x)+[(-2/27)+(1/9)x]e^x

答：
y''+4y'+4y=xe^x
特征方程a^2+4a+4=0
解得：a=-2
齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e^(-2x)
设特解为y*=(ax+b)e^x

y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x
y*''=(ax+2a+b)e^x
代入原方程有：
(ax+2a+b)e^x+4(ax+a+b)e^x+4(ax+b)e^x=xe^x
所以：
9ax+6a+9b=x
所以：
9a=1
6a+9b=0
解得：a=1/9，b=-2/27
所以：y*=(1/27)*(3x-2)e^x
所以：通解为y=(C1+C2x)e^(-2x)+(1/27)*(3x-2)e^x

解：∵齐次方程y''+4y'+4y=0的特征方程是r^2+4r+4=0，则r=-2（二重实根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-2x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax+B)e^x
代入原方程，化简得(9Ax+6A+9B)e^x=xe^x
==>9A=1,6A+9B=0
==>A=1/9,B=-2/27
∴y=(x/9-2/27)e^x是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-2x)+(x/9-2/27)e^x。