13问答网 > 已知函数f（x）=lnx，g（x）=-ax（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-ax（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若

2025-02-24 06:00:08

推荐回答（1个）

回答1：

（I）∵F（x）=f（x）+g（x）=lnx-

a

x

，
∴F'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0，a＞0，
∴F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上递增；
（II）∵F'（x）=

x+a

x2

，（0＜x≤3），
则k=F'（x₀）=

x0+a

x02

≤

1

2

恒成立；
即a≤

1

2

（x02-2x₀）在（0，3]上恒成立，
当x₀=1时，

1

2

（x02-2x₀）取到最小值-

1

2

，
∴a≤-

1

2

．
即a的最大值为-

1

2

．
（III）y=g（

2a

x2+1

）+m-1=-

1

2

x²+m-

3

2

的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即，-

1

2

x²+m-

3

2

=ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

；
则G'（x）=

2x

1+x2

+x=