你需要了解数学归纳法。
假设k时命题成立。
第一个等式是关键的技巧，因为我们需要证明k+1时命题成立，通过加减同一个东西，凑出两个k时的命题。这个等号成立不是问题，怎么想出来的需要经验，建议你暂时不必纠结。
第一个不等号处，看分子第一项是前面的式子中前k项应用了均值不等式，第二项也是，但是稍微晦涩一点，注意到把上面的(k-1)看成k-1个东西的和，所以一样是k项的均值不等式
第二个不等号处，用了k=2时的均值不等式，注意每个ai的次数，根式里面是 1+(k-1)/(k+1)=2k/(k+1)，然后外面k次方根、平方根，就得到这个结果。
所以整体上这个归纳法需要至少证明k=2
对高中生来说，重要的不是证明，而是记住结论，适用范围，灵活运用。特别是两个量的均值不等式，各种变式都必须掌握。
你是第几个不等号不懂?
均值不等式有好几个：调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值
楼主要想证明哪一个？
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