正十七边形的尺规作图法

设：正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为，
Zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17)
(k=0,1,2…16)
若记：ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为：
ρ1
ρ2
ρ3
ρ4
ρ5
ρ6
ρ7
ρ8；ρ-1
ρ-2
ρ-3
ρ-4
ρ-5
ρ-6
ρ-7
ρ-8
若设
P=ρ+ρ2+。。。+ρ-8
Q=ρ3+ρ5+…+ρ-7
则：
P+Q=ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+ρ-2+。。。+ρ-8
=（1+ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+。。。+ρ-8）-1
=-1
P*Q=（ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8）*（ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7）
=4（P+Q）
=-4
所以：P，Q是方程
X*X+X-4=0的根
P=1/2（-1+gen2（17））
Q=1/2（-1-gen2（17））
显然P，Q可以用尺规作出。
可见cos（2ж/17）可以用尺规作出。
作图的5个步骤：
1）
作出线段P，Q
2）
作出线段
u1，u2
3）
作出线段
V1
4）
作出单位圆，并在实轴上去一点v，使Ov=1/2V1，
过v作虚轴的平行线交单位圆与Z1，则Z0Z1（Z0=1），即为正17边形的一边。
5）
作出其余所有顶点，完成正17边形

千多年前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作内接正多边形。早在《几何原本》一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正7、9、11……边形却未能做出。让后来数学家尴尬的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。

不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新做出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规做出？

在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n边形，当n满足如下特征之一方可做出：

1) n=2m；（ 为正整数）

2) 边数n为素数且形如 n=22t（t+1=0 、1、2……）。简单说，为费马素数。

3) 边数 n具有n=2mp1p2p3...pk ，其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。

由高斯的结论，具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。进一步，可以做出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到。这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规做出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数相结合而得到。

就这样，正多边形作图问题与费马数极其密切地联结在一起了！数学的一大魅力在于：看似全然无关的领域竟能以出人意料的方式彼此联系在一起。透过“数学王子”高斯的杰出发现，人们确实可以从中充分领略到数学的这种魅力。事实上，正是两者这种出乎意料的神秘结合，使人们对费马数有了更为持续不断的兴趣。

总体分五步走，见完整图并附上步骤5的放大图。关键点就是步骤5中端点的连线不能错。