13问答网 > 已知函数f（x）=e x （ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a

已知函数f（x）=e x （ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a

2025-03-02 11:40:02

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回答1：

（1）f′（x）=e^x （ax+a+b）…（1分），
依题意，

f(0)=2

f / (0)=4

，
即

e 0 (a×0+b)=2

e 0 (a×0+a+b)=4

…（3分），
解得a=b=2…（5分）．
（2）记g（x）=e^x （ax+b）-（4x+2）=2e^x （x+1）-2（2x+1），
则g′（x）=2e^x （x+2）-4…（6分），
当x=0时，g′（x）=0；
当x＞0时，g′（x）＞0；
当x＜0时，g′（x）＜0…（8分），
∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立，
即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）．
（3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当 k≥

f(x)

4x+2

=

e x (x+1)

2x+1

…（10分），
记 h(x)=

e x (x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h / (x)=

e x (2 x 2 +3x)

(2x+1) 2

…（11分），
由h′（x）=0得x=0（舍去）， x=-

3

2

…（12分）
当 -2≤x＜-

3

2

时，h′（x）＞0；
当 -

3

2

＜x≤-1 时，h′（x）＜0…（13分），
∴ h(x)=

e x (x+1)

2x+1

在区间[-2，-1]上的最大值为 h(-

3

2

)=

1

4

e -

3

2

，常数k的取值范围为 (

1

4

e -

3

2

，+∞) …（14分）．