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如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB ∥ CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=
如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB ∥ CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=
2025-05-01 07:11:14
推荐回答（1个）
回答1：
证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴
PC
=(-2，4，-4)
，
BD
=(-2，-1，0)
，
∴
PC
?
BD
=0
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证
BD
为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），
PB
=(0，1，-4)，
BC
=(-2，3，0)
所以
n
?
PB
=0
n
?
BC
=0
?
b=4c
a=6c
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-
16
265
．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为
16
265
．
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