x^3+px+q有重根的条件

令f(x)=x^3+px+q，则f'(x)=3x^2+p.

当且仅当：f'(x)与f(x)有公因子时，f(x)有重根。

f'(x)与f(x)有公因子的充要条件是“辗转相除余数为0”。

f(x)=x^3+px+q 除以 f'(x)=3x^2+p，余式为r1(x)=(2/3)px+q。

f'(x)=3x^2+p 除以 r(x)=(2/3)px+q，余数为r0=p+27*(q^2)/[4*(p^2)]。

因此f(x)有重根的充要条件为4p^3+27q^2=0。

扩展资料：

方程f(x) = 0有根x = a则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法P(x) = f(x) / (x-a)结果仍是多项式。若P(x) = 0仍以x = a为根，则x= a是方程的重根。或令f1(x)为f(x)的导数，若f1(x) = 0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。

根据多项式乘积的导数公式，对函数  求导可得：上式中，由于  不含因式  ，而  含有因式  ，于是括号中的  不含有因式  ，因此  是  的  重根。由此可以得到多项式重根有以下性质：

①多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1。

②当且仅当多项式  与它的导数  的最高公因式是零次多项式时，多项式  才没有重根。

参考资料来源：百度百科——重根

解：令f(x)=x^3+px+q，则f'(x)=3x^2+p.

当且仅当：f'(x)与f(x)有公因子时，f(x)有重根。

f'(x)与f(x)有公因子的充要条件是“辗转相除余数为0”。

f(x)=x^3+px+q 除以 f'(x)=3x^2+p，余式为r1(x)=(2/3)px+q。

f'(x)=3x^2+p 除以 r(x)=(2/3)px+q，余数为r0=p+27*(q^2)/[4*(p^2)]。

因此f(x)有重根的充要条件为4p^3+27q^2=0。

两种情况 1.P=q=0
2.4p^3+27q^2=0