设An=n^(1/n)=1+Hn。
n=(1+Hn)^n>n(n-1)*(Hn)^2/2。
由上面的式子可知0。
用极限的ε-N语言定义证明n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1?
解：不论预先给定的正数ε怎么小，由∣[√(n²+a)]/n-1∣=∣[√(n²+a)-n]/n∣
=∣a/n[√(n²+a)+n]∣<∣a/n∣<ε，得n>∣a/ε∣,可知存在正整数N=[∣a/ε∣],
当n≧N时不等式∣[√(n²+a)]/n-1∣<ε；故n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1。
N的相应性
一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
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