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设a为n阶方阵若存在正整数k,使得方程a^kx=0,有非零解y,且a^k-1y不等于零,证明Y

AY，…,A^k-1Y线性无关谢谢啦

2025-04-28 08:00:34

推荐回答（2个）

回答1：

反证：(用大写 A 记原题中的矩阵 a) 不妨设 a_i A^i Y + a_(i+1) A^(i+1) Y + ...+a_j A^j Y = 0, 其中 a_i 不= 0， a_j 不=0, 0<= i < j <= k-1.
==》 A^(k-i-1) * (a_i A^i Y + a_(i+1) A^(i+1) Y + ...+a_j A^j Y) = 0
a_i A^(k-1) Y + a_(i+1) A^k Y + ...+a_j A^(k+j-i-1) Y = 0
因为 A^k Y = 0, 于是必有 A^(k-1) Y = 0, 与题设矛盾。所以必有 Y, AY，…,A^k-1Y线性无关

回答2：

简单分析一下即可，答案如图所示

设a为n阶方阵 若存在正整数k,使得方程a^kx=0,有非零解y,且a^k-1y不等于零,证明Y

设a为n阶方阵若存在正整数k,使得方程a^kx=0,有非零解y,且a^k-1y不等于零,证明Y