高数不定积分，怎么换元的？

let
tanx = √2tanu
(secx)^2 dx = √2(secu)^2 du
dx ={ √2(secu)^2/[ 1+2(tanu)^2 ] }du
2(secu)^3
=2(secu).[1+ (tanu)^2]
= (secu).[1+ 2(tanu)^2] + secu
∫√[2+(tanx)^2] dx

=∫√2. secu . { √2(secu)^2/[ 1+2(tanu)^2 ] }du
=2∫ (secu)^3/[ 1+2(tanu)^2 ] }du
= ∫secu du + ∫ secu/[1+ 2(tanu)^2] du
=ln|secu +tanu| + ∫ cosu /[ (cosu)^2+ 2(sinu)^2] du
=ln|secu +tanu| + ∫ cosu /[ 1+ (sinu)^2] du
=ln|secu +tanu| + ∫ dsinu /[ 1+ (sinu)^2]
=ln|secu +tanu| + arctan(sinu) + C

都还给老师了

相比较直接进行三角代换，也可以采用上述方法进行积分：①的步骤比较关键，转化为形如√（x²＋a²）的积分，而这一题目中的“x”又是三角函数,需要熟练使用三角函数代换。划线的前一部分，需要对tan²x进行代换想办法凑成形如√（x²±a²）或者是b╱［√（a²±x²）］的积分，后一部分是√（x²＋a²）的常见积分。（个人愚见，希望能对你有所帮助）