大一高数关于比值审敛法的题，求把过程写详细点，感谢

2025-03-01 09:40:53

推荐回答（2个）

回答1：

相邻两项的比值：
[（n+1）！/（n+1）^(n+1)]/[n！/n^n]
=（n+1）n^n/（n+1）^(n+1)
=n^n/（n+1）^n
=[n/(n+1)]^n
=[1-1/(n+1)]^(n+1)/[1-1/(n+1)]
=1/[1-1/(n+1)]{[1-1/(n+1)]^-(n+1)}
-->1/e
<1
收敛。

回答2：

判别<1,+∞>∑(n!/nⁿ)的敛散性
解：需要利用一个不等式：(n/2)ⁿ∵∑(n!/nⁿ)<∑[e(n/2)ⁿ/nⁿ]=∑e/2ⁿ；
而∑e/2ⁿ的比值ρ=n→∞lim[e/2^(n+1)]/(e/2ⁿ)=1/2<1.
∴∑e/2ⁿ收敛，∴∑[e(n/2)ⁿ/nⁿ]收敛。