令f(x)=e^x-x-1 f(x)满足拉格朗日中值定理。
f(0)=0
f(x)-f(0)=f'(ξ)x
f'(x)=e^x-1 当x>=0时，f'(x)>=0
f(x)-f(0)>=0 问题得证;
当x<0时，f'(x)<0 f'(ξ)x>0
f(x)-f(0)>=0 问题得证.
当x趋向∞时，(x≠0)
e^x/(1+x)为∞/∞型，由中值定理（罗比达法则）
(e^)′/(1+x)′
=e^x/1
(1)当x→＋∞时：e^x/1＞1,∴e^x＞1+x,
(2)当x→－∞时：e^x/1＜1,∴e^x＞1+x,
∴无论x取何值， e^x＞1+x.
证毕。
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