13问答网 > 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥13；（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1

已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥13；（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1

2025-03-07 08:44:25

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回答1：

解答：证明（Ⅰ）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

，当且仅当a=b=c时，等号成立．
（Ⅱ）∵

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c=1，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1