高数积分问题

let

u=lnx

du =(1/x ) dx

dx = e^u .du

∫ sin(lnx) dx

=∫ e^u .sinu  du

=∫ sinu  d e^u

=e^u .sinu - ∫ e^u .cosu  du

=e^u .sinu - ∫ cosu  de^u

=e^u .sinu- e^u .cosu - ∫ e^u .sinu  du

2∫ e^u .sinu  du  = e^u .sinu- e^u .cosu

∫ e^u .sinu  du  = (1/2)[e^u .sinu- e^u .cosu] +C

∫ sin(lnx) dx

∫ e^u .sinu  du  

= (1/2)[e^u .sinu- e^u .cosu] +C

= (1/2)[x .sin(lnx)- x .cos(lnx)] +C

看图片

令lnx=t，则x=eᵗ
∫sin(lnx)dx
=∫sintd(eᵗ)
=sint·eᵗ-∫eᵗd(sint)
=sint·eᵗ-∫eᵗcostdt
=sint·eᵗ-∫costd(eᵗ)
=sint·eᵗ-cost·eᵗ+C+∫eᵗd(cost)
=sint·eᵗ-cost·eᵗ+C-∫eᵗsintdt
=sint·eᵗ-cost·eᵗ+C-∫sintd(eᵗ)
2∫sintd(eᵗ)=sint·eᵗ-cost·eᵗ+C
∫sintd(eᵗ)=½(sint-cost)·eᵗ+C
∫sin(lnx)dx=½[sin(lnx)-cos(lnx)]·x+C