已知关于x的一元二次方程x的平方-（2k+4）x+4k+3=0

(1) 因为此一元二次方程的判别式=b^2-4ac=[-(2k+4)]^2-4*1*(k^2+4k+3)=4>0
所以不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根。
（2） 此一元二次方程的两个根分别为：k+3,， k+1，
其为直角三角形的两直角边，故 (k+3)^2+(k+1)^2=10^2 ， 解得：k=-9,k=5
当k=-9时， k+3=-6， k+1=-8， 不合题意，舍去。
当k=5时， k+3=8， k+1=6 ， 直角三角形的周长为24。

解：
要求证有两个不相等的实数根 那么△>0
(2k+4)²-4(k²+4k+3)
=4k²+16k+16-4k²-16k-12
=4
无论k为何值 △=4>0
所以方程肯定有两个不相等的实数根

设两边长分别是a b
根据勾股定理得到：a²+b²=10²=100
根据韦达定理得到：a+b=2k+4 ab=k²+4k+3
a²+b²=(a+b)²-2ab=(2k+4)²-2(k²+4k+3)=4k²+16k+16-2k²-8k-6
=2k²+8k+10=100
2k²+8k-90=0
(2k-10)(k+9)=0
k1=5 k2=-9
a+b是直角边 所以肯定大于0 所以a+b=2k+4>0 k=-9舍去
所以k=5
a+b=2k+4=14 所以周长=14+10=24

答：

1. 只要证明：⊿＞0即可。证明(2K+2)^2-4(K^2+4K+3)>0即可。
计算结果为16>12,因此上式达尔他恒大于零，因此不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根。
2.

1、
判别式=[-(2k+4)]²-4(4k+3)
=4k²+16k+16-16k-12
=4k²+4>0
所以方程总有两个不相等的实数根

2、
由韦达定理
x1+x2=2k+4
x1x2=4k+3
由勾股定理
x1²+x2²=10²
(x1+x2)²-2x1x2=100
4k²+16k+16-8k-6=100
2k²+4k-45=0
k=(-2±√94)/2
x1+x2=2k+4=2±√94
所以周长=x1+x2+10=12±√94