如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2B

2025-05-05 17:27:36

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回答1：

（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，
∵AC=2BC=2

，∠ACB=90°，
∴（2

）² +（

）² =（5k）² ，
解得：k=1，
∴OB=1，OA=4，
∴A（-4，0），B（1，0），
∵OC=

CB 2 + OB 2

=2，
∴C（0，-2）；

（2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．
连接GB，BC′，
∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），
∴C′（0，2），
∵A（-4，0），B（1，0），
∴直线AC′的解析式为：y=

x+2，
直线l的解析式为：x=-

，
∴点G（-

，

），
∵BC′=

1 2 + 2 2

，AC′=

4 2 + 2 2

∴△GBC′的最小周长为：
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3

；

（3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．
当点P在线段BC之间时（如图2），

设正方形PQMN的边长为t．
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
∴直线AC的解析式为：y=-

x-2，
直线BC的解析式为：y=2x-2，
∴点P（

2-t

，-t），点Q（2t-4，-t），
∴点N（

2-t

，0），点M（2t-4，0），
∴MN=-2t+4+

2-t

=t，解得t=

，
当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（

2-t

，0），点M（2t-4，0），此时
MN=2t-4-

2-t

=t，解得t=

．
综上所述，正方形PQMN的边长为

或

．