一般来讲定积分是不按照定义直接算的，要按照定义算也得取特殊的ξ_i，利用最终的极限和ξ_i的取法无关来得到积分值。
当然对于你这个具体的问题而言，利用单调性就够解决问题了
注意1+(i-1)/n <= ξ_i <= 1+i/n，所以(1+(i-1)/n)^2 = f(1+(i-1)/n) <= f(ξ_i) <= f(1+i/n) = (1+i/n)^2
n项求和得到 (14n^2-9n+1)/(6n^2) <= sum 1/n*f(ξ_i) <= (14n^2+9n+1)/(6n^2)
取极限并利用夹逼性得到sum 1/n*f(ξ_i) -> 7/3
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