13问答网 > x^2*y✀✀+axy✀+by=f(x) 欧拉方程,即x=±e^t,t=ln|x|, 化简成(d^2y)⼀dt^2+(a-1)dy⼀dt+by=f(±e^t)?

x^2*y✀✀+axy✀+by=f(x) 欧拉方程,即x=±e^t,t=ln|x|, 化简成(d^2y)⼀dt^2+(a-1)dy⼀dt+by=f(±e^t)?

2025-02-26 21:55:50

推荐回答（1个）

回答1：

令x=e^t，则dx/dt=e^t
（负号我就不带了啊，一样的）
而y'=dy/dx=dy/dt
*
dt/dx=dy/dt
*1/e^t，
故xy'
=dy/dt
而y''=(dy/dx)/dx=(dy/dt
*1/e^t)
/dt
*
dt/dx，
于是
(dy/dt
*1/e^t)
/dt
=(dy/dt)/dt
*1/e^t
-
dy/dt
*1/e^t
=d²y/dt²
*
1/e^t
-
dy/dt
*1/e^t
即y''=(dy/dt
*1/e^t)
/dt
*
dt/dx
=d²y/dt²
*
1/e^2t
-
dy/dt
*1/e^2t
所以x²
*y"=d²y/dt²
-
dy/dt，
因此x²
*y''+axy'+by=f(x)可以化简为
d²y/dt²
-
dy/dt
+
a*dy/dt
+by=f(e^t)，
即
d²y/dt²
+(a-1)dy/dt
+by=f(e^t)