费马大猜想讲的是什么？

费马大定理是费马发现巧妙证法之后提出来的。
通过从特殊到一般的巧妙证法，
用二项

式
定理等初等数学方法巧妙地证明了此定理。即：不定方程茗
“
＋广＝z
“
（n＞2）
（本文的各种
字母

没有特别指出时，都表示是正整数），当并＝104时，z不等正整数。由此得出
“
l加正
有理数n次方

和的n次方根是无理数。
”
的引理。
用此引理和集合包含关系巧妙地证明了此定理。

当凡是一个大于2的正整数时，不定方程省8

＋y
”
＝z
“
没有正整数解，这一结论是1637
年左右

费马提出的，被称为费马猜想，
习惯上又称为费马

大定理。

费马当时在
“
把一个平方数
分为两个平方

数
”
旁写下了一段批语：
“
把一个立方数分为两个

立方数，
一个四次幂分成两个四
次幂，或一般地把

一个高于二次的幂分为两个同次的幂，
这是不可

能的。
关于这一点，我已发
现了一种巧妙的证法，

可惜这里空白太小，写不下
…
。
”
既然是巧妙证法，必然简练于当时那
个年代

的数学水平所具有的证明方法，
三百多年前数学

水平远不如今天，
费马的巧妙证法很有
可能是用

初等数学证明的，
而不是今天的高等数学方法。

在这种思维指导下，
发现了如下巧妙
证法。

l

1．1

1．1．1

当（10。，），）＝1（10。，，，互素）时

当n＝5时

（1）式化为：

（10。）5＋广＝7

（2）

因为z＜，，＋10。（因：
“
＝（10。）
“
＋y4所以石

＜（（104）2＋广）1／2＜108＋y），设：＝，，＋m，（m

＜104）（2）式化为：

（，，＋，n）5＝（10。）5＋广

两边展开整理得：

（3）

25。5h＝5，m＋10

y3m2＋10，m3＋5佃14＋m5

（4）

（4）式右边有
因数m，左边有因数2和5，因

为（4）式两边恒等，所以m必是左边的因数，如果

m是正整
数，m必等于2。5
„
。因为（4）式左边整数

因数只有2。5
„
。就是说，如果m＝正整数。
必等于

2。5
„
，否则不是左边的因数，（4）式两边不等。为

此只须证明九
≠
2。5
„
即可证
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明m
≠
正整数。设m

＝2。5
„
，因为（104，y）＝l，），是奇数，所以z是奇

数，所以
m＝偶数，所以c
≠
0，又因为（4）式除末

项外都有因数5，如果m不含因数5，两边不等，

所以J｝
≠
0，且p

m＝2。5
„
（c与后
≠
0）

（1）

当2
„
＜2知时，（4）式两边除以2
„
，
除右边第一

项都有因数2，所以两边不等。

当2。＝258时，因为m＜10。，所以5
„
＜
54，5
“
1

＜5她，
（4）式两边除以5
“
1，除右边第一项都有因

数5，
所以两边不等。

由
此可知，，l
≠
2。5
„
，即m
≠
正整数，所以当n

＝5时z
≠
正整数。

1．1．2

引理1

“
不定方程菇
“
＋y
“
＝z
”
，当菇＝108，口、，，是任意

正整数，n＞2奇数时，：＝无理数。即：

√
（10。）
“
＋），
“
＝无理数。
”

证明：设不定方程为：

（104）
“
＋广＝z
”
因为104，y是正整数，（10。）
”
＋y
“
＝
正整

数，
所以z只能等于正整数或无理数。
（因为任何

非整有理数的n次方都不等于正整数）
，
为此只

须证明z
≠
正整数即可证明z＝无理数。

费马大定理，又名费马猜想，是17世纪法国数学家费马留给后世的一个不解之谜。这个比哥德巴赫猜想更悠久、更有名的难题曾经吸引、困惑了无数智者，难倒过许多杰出的大数学家。
这道题是这样的：当n>2时，x^n+y^n=z^n没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。使用现代的电子计算机可以计算证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
虽然费马当时宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。证明中利用了很多新的数学知识，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，这些都令人怀疑在当时费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。直到358年之后的1995年，这个难题才被美国数学家安德鲁•怀尔斯所攻克。