证明0.123456789101112.。。。。。。是无理数

2024-12-04 06:10:29

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回答1：

用反证法，假设此数是有理数，则其循环节数为k,但下一个k内每一分位前会被插入数字1或将k内的一个数字都用比它大1的数字代替，这样，下一个“k”就不等于k了。所以，没有循环节，是无限不循环的。所以，此数是无理数。

回答2：

A的小数部分为所有正整数依次排列，证明A是无理数。
反证：
假设A为有理数，有我m位不循环小数，从m+1位开始循环，有循环节n位。（m＞0，n为正整数），则：
A=0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…m（m+1）(m+2）……（m+n）（m+n+1）(m+n+2)……（m+n+n）………
m+1=m+n+1
m+2=m+n+2
…………
m+n=m+n+n
要使等式成立，只有n=0
这与题目条件矛盾，所以A不是有理数，是无理数。
如果n=0成立，则A中m位后所有数字全为m,存在循环节m，即A从m位开始循环，又与反证假设的从m+1位开始循环矛盾，所以，A不是有理数，是无理数。