如何证明一个连续函数取绝对值后仍然连续，用定义证明！

已知f(x)连续，即：对于任意x，均有当x→x0时，f(x)→f(x0)

求证：对于任意x，均有当x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续

证明：

显然0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|

∵x→x0时，f(x)→f(x0)

∴f(x)-f(x0)→0

∴|f(x)-f(x0)|→0

即：0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|→0

∴x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续

简介：

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

在函数0点处，证明左右极限为0，即可证明该函数加绝对值仍然连续。这是显然的，在0点处，如果f(X)>0，则右极限=0。若f〈X)<0，则加绝对值后成为-f(x〉，仍是初等函数，左极限仍然为0，有f左=f右=0

已知f(x)连续，即：对于任意x，均有当x→x0时，f(x)→f(x0)
求证：对于任意x，均有当x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续
证明：
显然0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|
∵x→x0时，f(x)→f(x0)
∴f(x)-f(x0)→0
∴|f(x)-f(x0)|→0
即：0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|→0
∴x→x0时，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|连续

|f|=(f^2)^(1/2),连续函数复合连续；
此外，max（f1,f2）=（f1+f2）/2+|f1-f2|/2
以及，min（f1,f2）=（f1+f2）/2 - |f1-f2|/2
也是连续函数复合。