数学高一难题

对 jjhu_2009 和 风雨zhou 的解答做一点补充

（1）方程可变形为：g(x) = 0.3^x + 0.4^x + 0.5^x - 0.5 = 0
易知，g(x)在R上单调递减，因此原方程要么无解，要么只有一解。
考虑3、4、5为勾股数，令 x = 2 判断 g(2)的符号，得：g(2) = 0
即知：方程有解为：x = 2

（2）加个条件：X、Y为三角形内角（ 或 0（ 否则，X = aπ,Y = bπ，a、b为整数，也满足(sin)²+(sinY)²=sin(X+Y) ）
不妨设X①当X+Y>90°时， X>90°-Y ( 90°-Y可能是负的 )
由函数 f = sint 在[-90°,-90°]单调递增，有：sinX > sin(90°-Y)=cosY
则 sin(X+Y) = (sin)²+(sinY)² > 1，显然不可能；
②当X+Y<90°时， X<90°-Y → sinX < sin(90°-Y)=cosY
同理，sinY < cosX
∴ (sin)²+(sinY)² < sinXcosY + cosXsinY = sin(X+Y)，与题意矛盾
综上所述， X+Y = 90°

一、a=-1
b=以2为底3的对数＞1
0＜c＜1
所以a＜c＜b
二、通过对数函数的公式，能得出f（x）=X
所以值域是R
三、设今年产值为a，增长率为x
则 a（1+x)^10=a*2*2
（1+x)^10=4