解:(1)由题设知a 2 =b 2 +c 2 ,e= 由点(1,e)在椭圆上,得 ∴b=1,c 2 =a 2 -1 由点(e, ∴ ∴a 2 =2 ∴椭圆的方程为 (2)解:由(1)得F 1 (-1,0),F 2 (1,0), 又∵直线AF 1 与直线BF 2 平行, ∴设AF 1 与BF 2 的方程分别为x+1=my,x-1=my 设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),y 1 >0,y 2 >0, ∴由 ∴ ∴|AF 1 |= 同理|BF 2 |= (i)由①②得|AF 1 |-|BF 2 |= ∴ ∵注意到m>0, ∴m= ∴直线AF 1 的斜率为 (ii)证明:∵直线AF 1 与直线BF 2 平行, ∴ 由点B在椭圆上知, ∴ 同理 ∴PF 1 +PF 2 = 由①②得, ∴PF 1 +PF 2 = ∴PF 1 +PF 2 是定值。 |