如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1 (-c,0),F 2 (c,0)。已知

2024-11-28 10:44:22
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回答1:

解:(1)由题设知a 2 =b 2 +c 2 ,e=
由点(1,e)在椭圆上,得
∴b=1,c 2 =a 2 -1
由点(e, )在椭圆上,得

∴a 2 =2
∴椭圆的方程为
(2)解:由(1)得F 1 (-1,0),F 2 (1,0),
又∵直线AF 1 与直线BF 2 平行,
∴设AF 1 与BF 2 的方程分别为x+1=my,x-1=my
设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),y 1 >0,y 2 >0,
∴由 ,可得(m 2 +2) -2my 1 -1=0

∴|AF 1 |=
同理|BF 2 |=
(i)由①②得|AF 1 |-|BF 2 |=
,解得m 2 =2
∵注意到m>0,
∴m=
∴直线AF 1 的斜率为
(ii)证明:∵直线AF 1 与直线BF 2 平行,
,即
由点B在椭圆上知,

同理
∴PF 1 +PF 2 = =
由①②得,
∴PF 1 +PF 2 =
∴PF 1 +PF 2 是定值。