13问答网 > （2010?石景山区一模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分别是棱CC1、AB

（2010?石景山区一模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分别是棱CC1、AB

2025-04-28 08:06:40

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回答1：

解答：解：如图，
（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC；
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．

（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
且BB₁∩BC=B，∴AC⊥平面ECBB₁．
∴四棱锥VA?ECBB1的体积为
VA?ECBB1＝

SECBB1?AC．
由E是棱CC₁的中点，∴EC＝

AA1＝2．
∴SECBB1＝

(EC+BB1)?BC＝

×(2+4)×2＝6．
∴VA?ECBB1＝

SECBB1?AC＝

×6×2＝4．

（Ⅲ）解：CF∥平面AEB₁．现证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG．∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，且FG＝

BB₁．
又∵EC∥BB₁，且EC＝

BB1，∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形．∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．