13问答网 > 函数fx=1⼀2x^2-(a+1)x+alnx+1,a取值范围是什么，fx≥1恒成立？

函数fx=1⼀2x^2-(a+1)x+alnx+1,a取值范围是什么，fx≥1恒成立？

如题

2025-04-28 23:05:42

推荐回答（2个）

回答1：

f(x) = 1/2x^2-(a+1)x+alnx+1
∵零和负数无对数
∴定义域：x＞0
求导：f ′(x) = x-(a+1)+a/x = {x²-(a+1)x+a}/x = (x-a)(x-1)/x

如果a≤0：
0＜x＜1时单调减，x＞1时单调增
必须f(1)=1/2-(a+1)+0+1≥1
得：a≤-1/2

如果0＜a＜1：
0＜x＜a和x＞1时单调增，a＜x＜1时单调减
x趋近0+时f(x)趋近-无穷大，无解

如果a=1：
x＞0时单调增
x趋近0+时f(x)趋近-无穷大，无解

如果a＞1：
0＜x＜1和x＞a时单调增，1＜x＜a时单调减
x趋近0+时f(x)趋近-无穷大，无解

综上，a≤-1/2

回答2：

分离参数求解