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若a,b,c为实数,且a^2+b^2+c^2=1,求证-(1⼀2)<=ab+bc+ca<=1

2024-12-05 07:08:36

推荐回答（4个）

回答1：

(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2

=2aa+2bb+2cc+2ab+2ac+2bc

=2(aa+bb+cc+ac+cb+ab)

=2(1+ab+ca+cb)

所以 ab+ac+cb=1-1/2((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)

又因为(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2>=0

所以ab+ac+cb=<1

(a+b+c)^2

=aa+cc+bb+2ac+2ab+2cb

=1+2ac+2ab+2cb

所以ab+ac+cb=1/2( (a+b+c)^2-1)

又因为(a+b+c)^2>=0

所以ab+ac+cb=>-1/2

回答2：

a,b,c为实数，
∴2ab<=a^2+b^2,
2bc<=b^2+c^2,
2ca<=c^2+a^2,
三式相加，除以2，得
ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2=1,
0<=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca),
∴ab+bc+ca>=-1/2.

回答3：

用均值定理一导就出来了。

回答4：

不会悲剧