13问答网 > 若非零函数f(x)对任意实数a、b均有f(a+b)=f(a)xf(b)，且当x<0时，f(x)>1. 1、求证f(x)>0

若非零函数f(x)对任意实数a、b均有f(a+b)=f(a)xf(b)，且当x<0时，f(x)>1. 1、求证f(x)>0

2、求证f(x）为减函数3、当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)f(5)<=1/.4

2025-04-30 21:45:11

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回答1：

1证：令a>0
∵f(a+0)=f(a)f(0)
∴f(0)=1=f(a-a)=f(a)f(-a)
∵f(-a)>1
∴0∴f（x）>0证毕
2证：取a>b
f(a)-f(b)=f[(a+b)/2+(a-b)/2]-f[(a+b)/2-(a-b)/2]
=f[(a+b)/2]{f[(a-b)/2-f[-(a-b)/2]}
∵f[(a-b)/2<1;f[-(a-b)/2]>1
∴{f[(a-b)/2-f[-(a-b)/2]}<0
∴f(a)-f(b)<0
∴f（x）为减函数
3解：
∵f(4)=f(2)*f(2)=1/16
∴f(2)=1/4
∴原不等式f(x-3)f(5)<=1/.4可转换为
f(x-3)f(5)<=f(2)
即f(x-3+5)<＝f(2)
又∵f(x)为减函数
∴x-3+5>＝2
即x>=0