解答：证明：（1）猜想：|aN-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N*，接下来用数学归纳法对k进行证明：
当k=1时，由an+1=2an2-1，aN=1得aN-12=1，但aN-1≠1，
∴aN-1=-1，
∴|aN-1|≤1成立--------------------------------------------（2分）
假设k=m（1≤m＜N-1，m∈N+）时，|aN-m|≤1，则aN-m-12=
∈[0，1]
aN-m+1 2
所以|aN-m-1|≤1，所以k=m+1时结论也成立．
综上，有|aN-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N+，故有|a1|≤1；----------------（5分）
（2）当N=2时，由a2=1且a1≠1得a1=-1=cosπ成立，
假设N=m（m≥2）时，存在k∈Z，使得a1=cos
------------------（7分）kπ 2m-2
则当N=m+1时，由归纳假设，存在k，使得a2=cos
，kπ 2m-1
则a12=
=
a2+1 2
=cos2cos
+1kπ 2m-1 2
，kπ 2m-2
所以a1=cos
=coskπ 2m-2
或a1=-cos2kπ 2(m+1)-2
=coskπ 2m-2
，(2(m+1)-2-2k)π 2(m+1)-2
所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得cos
--（10分）kπ 2N-2
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