能帮我解决一下吗，高等代数，子空间基维数还有直和的问题

给你思路

1. 按照两个空间中元素性质证明两个空间对于矩阵加法，数乘两个运算封闭

   
   

2. (1)对于子空间V中的任何矩阵A有A=A',从而矩阵中元素满足aij=aji         

   (i=1,2,...,n,j=1,2,...n)，就是说矩阵A在主对角线两边的元素处于对称位置的元素相等，

   从而要表示主对角线两边的元素只表示一边就够了也就是n(n-1)/2，再加上主对角线上

   n个元素，共n(n+1)/2个，也就是V的维数。

   
   

   (2)对于W中的任何矩阵B，有B=-B'，从而B中主对角线上的元素bii=-bii (i=1,2,...,n)，即

   bii=0(i=1,2,...,n)，按照同样的分析方法可以知道W的维数是n(n-1)/2。

   
   

   (3)关于V，W各自的一组基,我们规定一种写法，Eij,表示n维方阵的第i行j列的元素eij,第j行

   i列的元素eji都为1，其他元素全为0，从而V的一组基就是Eij(i=1,2,...,n,j=1,2,...n,且

   1<=i<=j<=n)，W的一组基类似的可以写出，你自己写。

3. 证P[nxn]=V⊕W,分两步：1.证V+W是直和. 2.证维(V)+维(W)=维(P[nxn])

   1.就是证V∩W={0},设A是V∩W的任意一元素,按照性质得

   aij=aji=-aji=0((i=1,2,...,n,j=1,2,...n))

   就是说A只能是0矩阵,1就证完了

   2.就是做加法n(n+1)+n(n-1)/2=n^2

   从而P[nxn]=V⊕W.