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求旋转抛物面z=x^2+y^2-1 在点(2,1,4) 处的切平面方程及法线方程。

2025-02-24 00:25:48

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回答1：

求旋转抛物面z=x²+y²-1在点（2，1，4）处的切平面和法线方程
解：经检查，点(2，1，4)在抛物面上。
设F(x，y，z)=x²+y²-z-1=0；
在点(2，1，4)处，∂F/∂x=2x∣(x=2)=4；∂F/∂y=2y∣(y=1)=2；∂F/∂z=-1；
故过(2，1，4)的切平面方程为：4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0，即4x+2y-z-6=0为所求；
过(2，1，4)的法线方程为：(x-2)/4=(y-1)/2=(z-4)/(-1).

回答2：

设F(x,y,z) = z-x^2-y^2+1
那么F'(x) = -2x
F'(y) = -2y
F'(z) = 1
所以在点(2,1,4)处的法向量为(-4,-2,1)或(4,2,-1)
法线方程为(x-2)/4=(y-1)/2=4-z
切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-z+4=0