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已知a、b、c∈R,且a+b+c=1求证:.a∧2+b∧2+c∧2≥1⼀3

2025-02-25 05:40:37

推荐回答（3个）

回答1：

证明:
由基本不等式可得:
a²+b²≧2ab.
b²+c²≧2bc.
c²+a²≧2ca.
上面的三个等号仅当a=b=c=1/3时取得,
三式相加,整理可得:
2(a²+b²+c²)≧2ab+2bc+2ca
∴两边同加a²+b²+c²,可得:
3(a²+b²+c²)≧a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∵a+b+c=1.
∴两边平方可得:
1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∴3(a²+b²+c²)≧1.
∴a²+b²+c²≧1/3.

回答2：

a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
全加，得
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)
所以：
(a+b+c)²＝1
＝a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
≤a²+b²+c²+2(a²+b²+c²)
＝3(a²+b²+c²)
∴a²+b²+c²≥1/3
当且仅当a=b=c=1/3时，等号成立。

回答3：

（a*a+b*b+c*c)(1+1+1)>=(a+b+c)*(a+b+c)；