13问答网 > 已知a，b，x，y为正实数，且a*2+b*2=1，x*2+y*2=1.求证：ax+by小于等于1

已知a，b，x，y为正实数，且a2+b2=1，x2+y2=1.求证：ax+by小于等于1

2024-12-03 16:03:20

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回答1：

解
由a²+b²=1
x²+y²=1
则有（a²+b²）（x²+y²）=(ax)²+(by)²+(ay)²+(bx）²=1
（ax+by）²=（ax）²+（by）²+2axby
所以（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²=（ay）²+（bx）²-2axby=（ay-bx）²≥0
即1- （ax+by）²≥0
所以（ax+by）²≤1
又因为a，b，x，y为正实数
所以ax+by≤1

回答2：

a^2+b^2=1
x^2+y^2=1

有a^2+x^2+b^2+y^2=2
因为 a^2+b^2>=2ab
所以 a^2+x^2+b^2+y^2>=2ax+2by
2>=2ax+2by
ax+by<=1

回答3：

由柯西不等式得(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1≥（ax+by）^2
∴ax+by≤1