一道高二数学题（属于不等式范围内之“算术平均数与几何平均数”）。

已知 a 、b 都是正数，且 a ≠ b , 求证： 2ab／a + b ＜ √ab.

2025-04-25 14:06:31

推荐回答（4个）

回答1：

你好！

由基本不等式得
a+b ≥ 2√ab 当且仅当a=b取等号
即 2√ab /(a+b) ≤1
两边同乘以 √ab 得
2ab /(a+b) ≤ √ab
又a ≠ b ，所以取不到等号
故2ab／a + b ＜ √ab

如有疑问可追问

回答2：

证：∵a 、b 都是正数，且 a ≠ b
∴a+b>2 √ab
1/(a+b)<1/2√ab
2ab/(a+b)<2ab/2√ab=√ab
即：2ab/(a+b)<√ab

回答3：

变下型。2ab/(ab)^(1/2) 2(ab)^(1/2) 两边同平方，4ab<(a+b)^2
括号打开，变成a^2+b^2-2ab>0
(a-b)^2>0
下面就不用说了吧。

回答4：

由于a、b为正数，故有