直线L：x+y-6=0，圆:(x-1)^2+(y-1)^2=4，A在直线上，B、C在圆上，∠BAC=60°，求A的横坐标的取值范围

解：圆P：(x-1)^2+(y-1)^2=4与直线L：x+y-6=0相离。
A在直线上，B、C在圆上。当点A沿直线L向x轴正向（右下方向）运动时，在一定范围内可选取适当的A、B、C三点满足∠BAC=60°，但一旦超过某一点A1，则∠BA1C开始逐渐变小，无法满足∠BA1C=60°；类似地，当点A沿直线L向x轴负向（左上方向）运动时，在一定范围内仍可选取适当的A、B、C三点满足∠BAC=60°，但一旦超过某一点A2，则∠BA2C开始逐渐变小，无法满足∠BA2C=60°。那么只需求出临界状态时对应的两个点A1和A2的横坐标。
临界状态下的点A1（或A2），恰好使得∠BA1C=60°，此时有A1B切圆P于点B，A1C切圆P于点C。因于是，过点P（1,1）作半径为4的圆，与直线L相交的两点A1、A2即为所求的两个临界点。
联立x+y-6=0及:(x-1)^2+(y-1)^2=16可解得x1=5，x2=1。于是点A的横坐标的取值范围为[1,5].

若对x∈[a+2,a+3]恒有|f(x)-g(x)|≤1成立，也即恒有
|log(a)(x-3a)-[-log(a)(x-a)]|=|log(a)((x-3a)(x-a))|=|log(a)((x-2a)^2-a^2)| ≤1成立，也即恒有
-1≤log(a)((x-2a)^2-a^2)≤1成立。
当0＜a＜1时，也即恒有a≤(x-2a)^2-a^2≤1/a成立，即a+ a^2≤(x-2a)^2≤1/a+a^2，也即
2a+√(a+a^2)≤x≤2a+√(1/a+a^2)或2a-√(1/a+a^2)≤x≤2a-√(a+a^2)恒成立，所以必须有
2a+√(1/a+a^2) ≤a+3 ①

x+2y-1=0 x+2y+3=0