（1）设AB1，交A1B于点P，连结PD，
∵D是AC的中点
∴PD∥B1C，
∵B1C?平面AB1D，PD?平面AB1D，
∴B1C∥平面A1BD；
（2）∵A1A⊥底面ABC，BD?平面ABC
∴BD⊥A1A，
又底面是边长为2的正三角形，D是AC的中点．
∴BD⊥AC，
∵A1A∩AC=A，
∴BD⊥平面A1ACC1，
∴BD⊥A1D，
∵在矩形A1ACC1中A1A=1，AC=2
∴A1D⊥C1D，
∴A1D⊥平面C1DB，
∴平面A1BD⊥平面C1BD：
（3）作AM⊥A1D，M为垂足，
由（2）知平面A1BD⊥平面C1BD：
∵平面A1ACC1∩平面A1BD=A1D，
∴AM⊥平面A1BD，连接MP，则∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角，
∵A1A=1，AD=1，
∴在RtAA1D中，AM=
，
2
2
∵AP=
AB1=1 2
，
5
2
∴sin∠APM=
=AM AP
．
10
5
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值
．
10
5
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