求x分之一的tanx次方的极限，在x趋近于+0时

lim(x->0+) (1/x)^tanx

=lim(x->0+) e^{ln[(1/x)^tanx]}

=lim(x->0+) e^{ -tanxlnx }

= e^{ - lim(x->0+) (tanx/x) [(lnx)/(1/x)] }

= e^{ - lim(x->0+) (tanx/x) [(1/x)/(-1/x²)] }

= e^{ - 1*0 }

= 1

扩展资料

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：

一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；

二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则 。

洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

如图。

因为
tanx≠x，而是近似等于接近于0的数，但倒数就有差距
了；比如0.001≈0.0011，
但1/0.0011^2-1/0.001^2=826446-1000000=-173554！
所以当x趋近于0时,
lim(1/x^2-1/(tanx)^2)=lim[(tanx)^2-x^2]/[x^2tanx^2]=

lim(x->+0) (1/x) ^ tanx
= lim(u->+∞) u ^ [(1/u) * u tan(1/u)]
= 1
∵ lim(n->∞) n^(1/n) = 1, lim(u->+∞) u * tan(1/u) = 1

1