13问答网 > 如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任一点，AA1=AB=2，求证..

如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任一点，AA1=AB=2，求证..

求证BC垂直面A1AC当C为AB弧中点时，求三棱锥A1-ABC的体积。

2025-04-30 14:06:06

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回答1：

解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC．
∵AA1⊥平面ABC，BC⊈平面ABC，
∴AA1⊥BC．
∵AA1∩AC=A，AA1⊊平面AA1C，AC⊊平面AA1C，
∴BC⊥平面AA1C．
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，
BC= AB2-AC2= 4-x2（0＜x＜2），
故VA1-ABC= 13S△ABC•AA1= 13• 12•AC•BC•AA1
= 13x 4-x2（0＜x＜2），
即VA1-ABC= 13x 4-x2= 13x2(4-x2)
= 13-(x2-2)2+4．
∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当x2=2，即x= 2时，
三棱锥A1-ABC的体积最大，其最大值为 23