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求微分方程xlnxdy+（y-lnx）dx=0满足条件y|x=e=1的特解

2025-05-02 04:27:16

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回答1：

xlnxdy+（y-lnx）dx=0，
x(lnxdy+
1
x
ydx)?lnxdx＝0，
xd（ylnx）=lnxdx，
d(ylnx)＝
lnx
x
dx＝lnxdlnx＝d[
1
2
(lnx)2]；
ylnx＝
1
2
(lnx)2+c，c为任意常数，
由于y|x=e=1，
所以，1×lne＝
1
2
×(lne)2+c
1×1＝
1
2
×12+c
c＝
1
2
所以，微分方程xlnxdy+（y-lnx）dx=0满足条件y|x=e=1的特解为ylnx＝
1
2
(lnx)2+
1
2
．

回答2：

解：令z=1/y²，则dy=-y³dz/2
代入原方程，化简得xdz+2zdx=-2x(1+lnx)dx
==>x²dz+2xzdx=-2x²(1+lnx)dx
==>d(x²z)=-2x²(1+lnx)dx
于是，x²z=-2∫x²(1+lnx)dx
=-2[x³(1+lnx)/3-(1/3)∫x²dx]
(应用分部积分法)
=c/9-2x³(2+3lnx)/9
(c是任意常数)
==>x²/y²=c/9-2x³(2+3lnx)/9
==>9x²=[c-2x³(2+3lnx)]y²
故原方程的通解是9x²=[c-2x³(2+3lnx)]y²。