定积分在几何中的应用的一道数学题：由抛物线y=x^2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积。这道题是这样的：...

如图，抛物线 y=x²-4 与直线 y=-x+2 的交点是 (-3,5) 与 (2,0)

直线 y=-x+2 在 x=-3 至 x=2 与 x 轴围成的面积是一个三角形，由红色楔形部分 S1 和绿色部分 S2 组成。

抛物线 y=x²-4 在 x=-3 至 x=2 与 x 轴围成的面积如红色所示，由两部分组成：x 轴上方即靠左侧的楔形部分（x=-3 至 x=-2 之间）S1，是正值；x 轴下方（x=-2 至 x=+2 之间）S3，是负值。

直线 y=-x+2 与抛物线 y=x²-4 在 x=-3 至 x=2 之间围成的面积可表示为：

(S1+S2)-(S1-S3) = S2+S3

见图（若看不清，复制到word）

将积分区间[a,b]分成n等分每个等分为Δx=(a-b)/n

其中的第i个等分的矩形面积Ai约=(f(xi)-g(xi))*Δx

Δx→0时 Ai就接近于曲边梯形的面积

n→∞Δx→0 limΣAi= limΣ(f(xi)-g(xi))*Δx 等于所求的面积

将n→∞Δx→0  limΣ(f(xi)-g(xi))*Δx 记为

∫（上b  下a）(f(x)-g(x))dx

你把那个面积竖着分成N等分，每一份就相当于一个小矩形，那么这个矩形的底为△x，高就是xi对于的直线减去抛物线，，直线在抛物线上面 就是说直线大于抛物线，所以积分就是直线-抛物线咯。直线的定积分表示那个直线和x轴围成的面积，就是那个三角形面积。抛物线的定积分表示那个抛物线和x轴围成的面积，其中-2~2之间，该值是负的，这样2者相减就是所求面积