13问答网 > 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（

2025-05-01 02:50:48

推荐回答（3个）

回答1：

解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN ∥ AD，且 MN=

AD=1 ；
又BC ∥ AD，且 BC=

AD=1 ，所以MN

∥

BC，即四边形BCMN为平行四边形，CM ∥ BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM ∥ 平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，
连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，
连接DF，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（8分）
在△EAD中，由BC ∥ AD， BC=

AD ，知B为AE为中点，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴ PE=

， AF=

．故 tan∠AFD=

，
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为

．…（12分）
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．…（2分）
（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以

=(-1，0，1) ，
又平面PAB的法向量可取为

=(0，1，0) ，∴

=0 ，即

⊥

．
又CM?平面PAB，所以CM ∥ 平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

=( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ．
∵

=(1，1，-1) ，

=(0，2，-1) ，∴

= x 1 + y 1 - z 1 =0

=2 y 1 - z 1 =0.

不妨取z₁ =2，则y₁ =1，x₁ =1．∴

=(1，1，2) ．
又平面PAB的法向量为

=(0，1，0) ．
设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为θ，
则由

，

的方向可知 cosθ=

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13813657562
2018-05-15 · TA获得超过15.2万个赞

回答2：

1
取AD的中点N，连接MN、CN
易知ABCN是正方形，CN//AD
由中位线定理，MN//PA
所以平面CMN//平面PAB
所以，CM//平面PAB
2
侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角=平面CMN与侧面PCD所成二面角的平面角
PA⊥底面ABCD，MN//PA
MN⊥底面ABCD，MN⊥AD
又CN⊥AD，所以AD⊥平面CMN
三角形CDM在平面CMN的射影是三角形CMN，
所以cosα=三角形CMN面积/三角形CDM面积，
=2*三角形CMN面积/三角形PCD面积
=（1/2）/（√6/2）=1/√6
tanα=√30/6

回答3：

两种解法