13问答网 > 已知向量a，b不共线，且(a+b）垂直（2a-b），（a-2b）垂直（2a+b），求向量a与b夹角的余弦值？

已知向量a，b不共线，且(a+b）垂直（2a-b），（a-2b）垂直（2a+b），求向量a与b夹角的余弦值？

2025-02-24 16:41:54

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回答1：

(a+b）垂直（2a-b），所以a^2-2b^2+a*b=0 （a-2b）垂直（2a+b），所以2a^2-2b^2-3a*b=0
不妨设a模为1，前式×3加后式得5a^2-8b^2=0得b^2=5/8，将此与a^2=1带入a^2-2b^2+a*b=0得a*b=1/4，所以夹角的余弦值为 a*b=1/4除以a，b模，为正或负的十分之根号十
求采纳

回答2：

解：∵(a+b)⊥(2a-b) ∴(a+b)·(2a-b)=0 ∴2a^2-b^2+ab=0 A
又∵（a-2b）⊥（2a+b) ∴2a^2-2b^2-3ab=0 B
3A+B得：8a^2-5b^2=0 C
所以将C代入A中：2a^2-8/5a^2 +√（8/5)·a^2cos＜a,b＞=0
据此，得：2/5+√(8/5)cos=0
cos=√(10)/2