13问答网 > 若f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微，且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf✀(x)=0

若f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微，且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf✀(x)=0

2025-04-04 16:02:54

推荐回答（2个）

回答1：

令F(x)=xf(x)，则F'(x)=f(x)+xf'(x)，显然
F(0)=0，F(1)=f（1）=0，有Rolle中值定理得
存在c使得F'(c)=0，即
f(c)+cf'(c)=0。得证。

回答2：

f'(1)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=-1
令F(x)=f(x)+xf'(x)
F(0)=f(0)+0=1
F(1)=f(1)+f'(1)=0-1=-1
因为f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微
所以F(x)在区间[0,1]上连续
由罗尔定理可知
在[0,1]上存在一点x1
使得F(x1)=0
即f(x)+xf'(x)=0

若f(x)在区间[0,1]上连续 在(0,1)上可微，且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf✀(x)=0

若f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微，且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf✀(x)=0