lim(x->0)x^2⼀[(1+xsinx)^1⼀2-(cosx)^1⼀2]是多少？

简单计算一下即可，答案如图所示

先分母有理化（平方差法），得
lim(x->0)x^2[(1+xsinx)^1/2+(cosx)^1/2]/(1+xsinx-cosx)
拆分成两块
lim(x->0)x^2/(1+xsinx-cosx)
*
lim(x稜畅迟堆侏瞪虫缺矗画->0)(1+xsinx)^1/2+(cosx)^1/2
x->0时，右边那块极限时存在的，为2
左边0-0型，现在只管左边那块，分子分母同除以x^2，得
（除x^2这法较麻烦点~其实诺必达更快更好算的，如果用诺必达下面的就不用看了^
^!）
lim(x->0)1/[(1-cosx)/x^2
+
sinx/x]
1-cosx=2sin(x/2)^2，实际上
lim(x->0)1/[2sin(x/2)^2/x^2
+
sinx/x]
然后容易了，直接根据lim(x->0)sinx/x=1，lim(x->0)[sin(x/2)]/(x/2)=1凑出
lim(x->0)1/[sin(x/2)^2/(2(x/2)^2)
+
sinx/x]=1/(1/2
+1)=2/3
则原式为
2/3*2=4/3

利用等价无穷小替换会简单些
当x→0时，有x~sinx
所以原式
=lim
[√(1+xsinx)-cosx]÷(x/2)²
=lim
(1+xsinx-cos²x)÷
{(x²/4)[√(1+xsinx)+cosx]}
=2lim
[sinx(x+sinx)]÷
(x²)
=2lim
(x+sinx)÷x
=2×2
=4
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！