证明
必要性
设a为任一n维向量
因为a1
a2
……
an线性无关
而a1
a2
……
an
a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1
a2
……
an线性表示
且表示式是唯一的
充分性
已知任一n维向量都可由a1
a2
……
an线性表示,
故单位坐标向量组e1
e2
……
en能由a1
a2
……
an线性表示,
于是有n=r(e1
e2
……
en)≤r(a1
a2
……
an)≤n
即r(a1
a2
……
an)=n
所以a1
a2
……
an线性无关
α1,α2,…αn线性无关,对任向量X
设X=t1
*α1+t2
*α2…+tn
*αn
它们组成的方程组的系数行列式不为0
故方程组有唯一解
任一n维向量可由它们表示
故它们可以线性表示单位向量
故与单位向量组等价
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