Ax=λx
也就是(λ-A)x=0
所以必须det(λ-A)=0否则x只有零解也就没有特征向量了
如果det(λ-A)=0,得到λ1,,,,λn
对于某个λi,(t-A)x=0有非零解xi...
(λi-A)xi=0,就是λixi=Axi
所以让det(λ-A)=0的解就是特征值
对于实对称矩阵λ1,,,,λn对应的特征向量分别是x1,,,,xn
令X=(x1,x2,,,,,xn)
则有AX=Xdiag(λ1,,,,λn)
于是A=Xdiag(λ1,,,,λn)X^(-1)
实对称矩阵X可以是正交阵
也就是A=(XT)Tdiag(λ1,,,,λn)(XT)
xTAx=(XTx)Tdiag(λ1,,,,λn)(XTx)
令y=XTx，x=Xy
即得xTAx=yTdiag(λ1,,,,λn)y
于是C=X
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