用收敛的定义判断级数：1⼀n（n+1）（n+2）是否收敛？

2025-05-05 21:28:34

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回答1：

收敛。
　　级数收敛的定义是级数收敛，就是其前n项和的极限存在。
　　证明：
　　设Sn为级数前n项的和。有：
　　Sn=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+......+1/[n(n+1)(n+2)]
　　
=1/2*{[1/(1*2)-1/(2*3)]+[1/(2*3)-1/(3*4)]+......+1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*{1/2-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/4-1/[2n(n+1)(n+2)]
，
　　显然，当n趋向无穷大时，Sn=1/4
　　所以该级数收敛。