为什么“若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个不同的特征值”这句话不对？

“若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个不同的特征值”不应是n个不同的特征值（因为可能有重根，而且某个特征值所对应的特征向量可能不止1个），应该是n个线性无关的特征向量。

可以说“若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量”而不同特征值的数目只是不超过n，但也可以少于n个，只要所有对应于不同特征值的特征向量数目总和等于n，A就可以与对角矩阵相似。

要将矩阵看作变换矩阵三个基向量即中蓝线俯视分别是矩阵的基向量在标准直角坐标系中坐标即这个变换表示原轴单位向量，对应到一个二维向量，原轴单位向量，对应二维向量。

这个对应的意思是，如果把这个变换附加到某个向量上，则将该向量所在标准直角坐标系的基向量对应到，，可以看为将基向量终点变形拉伸到；

例如某向量在标准直角坐标系中表示为，施加该变换后在标准直角坐标系中为，原轴单位向量，对应二维向量。

关键地方在于要将一个不属于该维度的方向变换到该空间，而且这个变换不是投影，理解为函数式的对应关系。

例如某向量，施加该变换后为，然后就是变换的叠加矩阵即基向量在标准直角坐标系中表示为，分别对矩阵的基向量施加矩阵变换如果显得麻烦就对原基向量再次拆分，依次变换叠加。

另外，举矩阵和矩阵的乘法例子是为了说明以下几个问题，只有第一个矩阵列数等于第二个矩阵行数才有意义，因为运算含义是将做出的变换，即将矩阵空间里的向量，全部做变换，最终全部容纳到矩阵的向量空间内，可以重叠。

重叠即降维针对线性空间讲，非线性变换能扭曲重叠其中矩阵的列数代表基向量个数，行数代表的意义是原向量空间的维度数，例如有两列三行，表明基向量有两个，向量维度为，需要将这三个维度全部做变换，至于做变换后对应空间有几个维度无所谓，因为能重叠，这对应的就是的行数。

扩展资料：

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n！项。

n阶行列式的性质：

1、行列互换，行列式不变。

2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

3、如果行列式的某行（列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

参考资料：百度百科- n阶行列式

不应是n个不同的特征值（因为可能有重根，而且某个特征值所对应的特征向量可能不止1个），应该是n个线性无关的特征向量。